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Algèbre
Arithmétique
L'arithmétique étudie les propriétés des nombres entiers : divisibilité, PGCD, nombres premiers.
Objectifs
- Effectuer une division euclidienne
- Calculer un PGCD (Euclide)
- Appliquer le théorème de Bézout
I. Division euclidienne
a = bq + r avec 0 ≤ r < b
b divise a si r = 0
II. PGCD et Bézout
Algorithme d'Euclide pour calculer PGCD(a,b)
Théorème de Bézout : PGCD(a,b) = 1 ⟺ ∃ u,v : au+bv = 1
Lemme de Gauss
III. Nombres premiers
p premier si ses seuls diviseurs sont 1 et p
Décomposition en facteurs premiers (unique)
Application : simplification de fractions, cryptographie
Formules clés
Division euclidienne
a = bq + r, 0 ≤ r < b
Erreurs fréquentes
- ⚠Confondre PGCD et PPCM
- ⚠Oublier que 1 n'est PAS premier
Conseils
- Toujours utiliser l'algorithme d'Euclide pour le PGCD
Types d'exercices au Bac
- ExoDéterminer PGCD(182, 78)
- ExoMontrer que deux nombres sont premiers entre eux