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Analyse
Limites et continuité
L'étude des limites permet de comprendre le comportement d'une fonction quand x tend vers l'infini ou vers une valeur particulière. Les asymptotes et la continuité en découlent.
Objectifs
- Calculer des limites (formes indéterminées)
- Déterminer les asymptotes
- Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires
I. Limites de fonctions
Limite finie ou infinie en +∞, -∞ ou en un point.
Formes indéterminées : ∞-∞, 0×∞, ∞/∞, 0/0.
Techniques : factorisation, conjugué, taux de croissance comparée.
Théorème des gendarmes pour les fonctions.
II. Asymptotes
Asymptote horizontale : lim f(x) = L quand x→±∞.
Asymptote verticale : lim f(x) = ±∞ quand x→a.
Asymptote oblique : f(x) = ax + b + ε(x) avec ε(x)→0.
III. Continuité
f continue en a si lim f(x) = f(a) quand x→a.
TVI : si f continue sur [a,b] et f(a)×f(b) < 0, alors il existe c ∈ ]a,b[ tel que f(c) = 0.
Application : existence de solutions d'équations.
Formules clés
Croissances comparées
e^x >> x^n >> ln(x) quand x→+∞
Erreurs fréquentes
- ⚠Oublier de lever les formes indéterminées
- ⚠Confondre limite et valeur de la fonction
Conseils
- Toujours identifier la forme indéterminée avant de calculer
- Pour le TVI : montrer la continuité ET le changement de signe
Types d'exercices au Bac
- ExoCalcul de limites avec formes indéterminées
- ExoDétermination d'asymptotes
- ExoApplication du TVI