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Analyse
Fonction exponentielle
La fonction exponentielle est l'unique fonction égale à sa propre dérivée et valant 1 en 0. Elle modélise les croissances exponentielles.
Objectifs
- Connaître les propriétés algébriques de exp
- Résoudre des équations avec exp
- Étudier les croissances comparées
I. Propriétés
e^(a+b) = e^a × e^b
e^(-a) = 1/e^a
(e^x)' = e^x
e^x > 0 pour tout x, fonction strictement croissante
II. Équations et inéquations
e^a = e^b ⟺ a = b
e^x > 1 ⟺ x > 0
Résolution par changement de variable X = e^x
III. Croissances comparées
lim (e^x/x^n) = +∞ quand x→+∞
lim x^n × e^x = 0 quand x→-∞
Formules clés
Dérivée
(e^u)' = u' × e^u
Croissance comparée
e^x >> x^n en +∞
Erreurs fréquentes
- ⚠Écrire e^(a×b) = e^a × e^b (FAUX !)
- ⚠Oublier la croissance comparée dans les limites
Conseils
- e^x domine TOUJOURS les polynômes en +∞
Types d'exercices au Bac
- ExoRésoudre e^(2x) - 3e^x + 2 = 0
- ExoÉtude d'une fonction f(x) = x × e^x