Suites numériques
Les suites numériques sont des fonctions de ℕ dans ℝ. On étudie les suites arithmétiques (raison additive) et géométriques (raison multiplicative), leurs limites et le raisonnement par récurrence.
Objectifs
- Identifier et étudier une suite arithmétique ou géométrique
- Calculer la somme des termes
- Étudier la convergence
- Maîtriser le raisonnement par récurrence
I. Suites arithmétiques et géométriques
Suite arithmétique : u(n+1) = u(n) + r. Terme général : u(n) = u(0) + n×r.
Suite géométrique : u(n+1) = u(n) × q. Terme général : u(n) = u(0) × q^n.
Somme arithmétique : S = n × (premier + dernier) / 2.
Somme géométrique : S = u(0) × (1 - q^n) / (1 - q) si q ≠ 1.
II. Limites de suites
Si |q| < 1, q^n → 0 : la suite géométrique converge vers 0.
Si q > 1, q^n → +∞ : divergence.
Théorème des gendarmes : si u(n) ≤ v(n) ≤ w(n) et u(n) et w(n) tendent vers L, alors v(n) → L.
Suite croissante majorée converge. Suite décroissante minorée converge.
III. Raisonnement par récurrence
Initialisation : vérifier la propriété pour n = 0 (ou n = n₀).
Hérédité : supposer P(n) vraie et montrer P(n+1).
Conclusion : par récurrence, P(n) est vraie pour tout n ≥ n₀.
Applications : inégalités, divisibilité, formules de somme.
Formules clés
Suite arithmétique
u(n) = u(0) + n×r
Suite géométrique
u(n) = u(0) × q^n
Somme géométrique
S = u(0) × (1-q^n)/(1-q)
Erreurs fréquentes
- ⚠Confondre arithmétique et géométrique
- ⚠Oublier l'initialisation dans une récurrence
- ⚠Se tromper dans le calcul de la somme (bornes)
Conseils
- Toujours vérifier si la suite est arithmétique (u(n+1)-u(n)=cst) ou géométrique (u(n+1)/u(n)=cst)
- Pour la récurrence : rédiger proprement initialisation, hérédité, conclusion
Types d'exercices au Bac
- ExoDéterminer la nature d'une suite
- ExoCalculer une somme
- ExoMontrer par récurrence
- ExoÉtudier la convergence