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Analyse
Fonction logarithme
Le logarithme népérien est la réciproque de la fonction exponentielle. ln(x) est défini pour x > 0.
Objectifs
- Connaître les propriétés algébriques de ln
- Résoudre des équations avec ln
- Utiliser les croissances comparées
I. Propriétés
ln(a×b) = ln(a) + ln(b)
ln(a/b) = ln(a) - ln(b)
ln(a^n) = n×ln(a)
(ln x)' = 1/x pour x > 0
II. Relations exp-ln
e^(ln x) = x pour x > 0
ln(e^x) = x
ln(x) = a ⟺ x = e^a
III. Limites
lim ln(x)/x = 0 quand x→+∞
lim x×ln(x) = 0 quand x→0+
Formules clés
Dérivée
(ln u)' = u'/u
Erreurs fréquentes
- ⚠Écrire ln(a+b) = ln(a) + ln(b) (FAUX !)
- ⚠Oublier que ln est défini seulement pour x > 0
Conseils
- ln transforme les produits en sommes : utile pour les limites
Types d'exercices au Bac
- ExoSimplifier des expressions avec ln
- ExoRésoudre des équations logarithmiques