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Probabilités
Lois à densité
Les lois à densité modélisent des variables aléatoires continues : loi uniforme, exponentielle et normale.
Objectifs
- Calculer P(a ≤ X ≤ b) avec une densité
- Maîtriser la loi normale
I. Loi uniforme sur [a,b]
f(x) = 1/(b-a) sur [a,b]
P(c≤X≤d) = (d-c)/(b-a)
E(X) = (a+b)/2
II. Loi exponentielle
f(x) = λe^(-λx) pour x ≥ 0
P(X≤t) = 1-e^(-λt)
E(X) = 1/λ, propriété d'absence de mémoire
III. Loi normale
X ~ N(μ,σ²) : centrée en μ, écart-type σ
Règle 68-95-99.7 : P(μ-σ ≤ X ≤ μ+σ) ≈ 0.68
Centrage-réduction : Z = (X-μ)/σ ~ N(0,1)
Formules clés
Exponentielle
P(X≤t) = 1-e^(-λt)
Centrage-réduction
Z = (X-μ)/σ
Erreurs fréquentes
- ⚠Confondre σ et σ² (écart-type et variance)
- ⚠Oublier de centrer-réduire pour utiliser la table
Conseils
- La loi normale est LA loi la plus importante du programme
Types d'exercices au Bac
- ExoCalculs avec la loi normale
- ExoIntervalle de fluctuation